Spannungsspitzen und Singularitäten in FEM-Rechnungen Ingenieurwissenschaften

Über Spannungsspitzen und Singularitäten, auch Hot-Spots genannt, geistern einige Halbwahrheiten und Spekulationen durchs Internet und sogar durch Fachbücher. Das liegt in erster Linie an der jahrelangen Erfahrung der meisten FEM-Experten, dass solche Stellen keine Probleme bereiten. Man dreht das Bauteil für einen Regenbogen-Plots einfach so hin, dass man die bedrohlich wirkende Stelle nicht sieht. Wenn man sie jedoch fragt, warum an diesen Stellen kein Versagen festzustellen ist, hat jeder seine eigene Theorie entwickelt. Das Ignorieren sorgt allerdings für eine trügerische Sicherheit, in der sich viele Ingenieure wiegen. Das hat mich veranlasst, der Sache auf den Grund zu gehen. 

 

Irrtum 1: „Eine Spannung kann nicht unendlich werden, deshalb ist eine Singularität nicht real vorhanden.“

Mit diesem Argument ist es naheliegend, einen Fehler in der FEM zu sehen, zumal bekannt ist, dass es stets eine Näherungslösung ist und häufig nur ein linearer Solver verwendet wird, der vielleicht nicht die besten Element-Formulierungen mitbringt. Irgendwo existiert wahrscheinlich ein numerisches Problem und der Anwender steckt in der Regel nicht so tief in der Theorie. Diese Unwissenheit führt dann schnell zu einem weiteren Irrtum.

Irrtum 2: „Eine bessere FEM-Software oder die Berücksichtigung von elastisch-plastischen bzw. nichtlinearen Verhalten würde zu brauchbaren Spannungswerten führen.“

Im Rahmen der Kontinuumsmechanik, also der zugrunde liegenden Theorie der FEM, um beliebige Verformungen von elastischen Körpern zu berechnen, sind solche Spannungsspitzen allerdings kein „Fehler“. Dabei zeigt sich auch nicht die Grenze der Theorie. Es offenbart sich lediglich die Limitierung der Festigkeitslehre in der Annahme, dass Spannungen mit Versagen gleichzusetzen ist. Mathematisch würde auch eine „bessere“ FEM nicht die Singularität verhindern. Ich komme zu dem wesentlichen Irrtum.

Irrtum 3: „Das Material muss bei solchen Spannungskonzentrationen doch versagen.“

Das auf atomarer Ebene letztlich endliche Kräfte wirken, also vom Prinzip das Produkt von Spannung und Atomdurchmesserfläche, steht natürlich außer Frage. Die Annahme einer unendlichen Beanspruchungsgröße wäre auch absurd. Dennoch folgt der Gedanke, dass eine hohe mikroskopische Kraft, auch wenn sie nicht unendlich sein kann, trotzdem unwillkürlich zum Versagen führen muss. Das ist auch so. Untersuchungen zum Wachstum von Rissen in der Mikrostruktur zeigen, dass sich innerhalb eines Kornes ein Riss in einem Bereich von 0,001-0,16 mm zunächst relativ schnell ausbreitet, sich zur Korngrenze hin allerdings wieder verlangsamt. Entweder kommt er nun zum Erliegen und die Probe ist dauerfest oder er springt auf ein angrenzendes Korn über und wächst wieder schneller. Für das Erliegen kann es mehrere Gründe geben, z.B. dass durch den Riss die Anisotropie der Struktur verändert wird und sich so der Spannungsfluss auf andere Körner gleichmäßiger verteilt. Untersuchungen zeigen, dass es vom Prinzip egal ist, ob Risse im Material, an Einschlüssen oder an Bohrungen entstehen. Die Dauerfestigkeit ist demnach keine Frage, ob Risse überhaupt entstehen und wachsen, sondern nur, wie stark sie in der Mikrostruktur gestoppt werden, bzw. so weit verlangsamt werden, dass eine Pseudo-Dauerfestigkeit von 107 – 108  Lastwechseln vorliegt. Die Antwort auf die Frage, ob das Material bei solchen Spannungskonzentrationen nicht versagen muss, ist sowohl ja als nein. Es versagt auf mikroskopischer Ebene. Das hat allerdings makroskopisch häufig keine Auswirkung.

Es wird oftmals argumentiert, dass echte Bauteile immer verrundet und nicht ideal scharfkantig sind. Wenn man also diese Verrundung mitmodelliert, löst sich das Problem. Es löst sich zumindest das Problem der echten Singularität. Der Hot-Spot und die enthaltende mikroskopisch hohe Beanspruchung bleibt jedoch meist weiterhin bestehen.

Der häufigste Tipp, den man im Internet zu diesem Thema findet, lautet: Die Singularität durch Netzverfeinerung erkennen. Dem ist auch nichts entgegenzusetzen. Da singuläre Stellen nicht konvergieren, steigt die Spannung immer weiter, denn sie ist ja unendlich. Doch was soll aus dieser Erkenntnis für die betroffene Stelle und die Festigkeitsauslegung folgen?

Irrtum 4: „Wenn ich eine Singularität durch Netzverfeinerung erkannt habe, kann ich sie ignorieren, weil in Wirklichkeit jedes Material durch Mikroplastizität verrundet ist.“

Dahinter steckt die Idee, dass man sich diese Stellen dann gedacht ausgerundet vorstellt, so dass sie als normale Kerben behandelt werden könnten. Doch eine unendliche Spannung ist kein Fehler oder Problem, denn sie führt offensichtlich nicht zwangsläufig zum Versagen. Sparen Sie sich die Mühe der Ausrundung. In Wirklichkeit liegen an Korngrenzen, Versetzungen, Lunkern und Einschlüssen überall im Material ebenfalls Singularitäten vor, die offensichtlich auch nicht zum Versagen führen. Im folgenden Plot ist die Spannungsverteilung einer metallischen Kornstruktur dargestellt. Makroskopisch herrscht eine konstante Spannung von 200 N/mm², im Gefüge variiert die Spannung hingegen zwischen 100 – 300 N/mm².

Spannungsverteilung im Korngefüge_

Spannungsverteilung in einer 2x2mm 2D-Voronoi-Zelle mit E111=276 GPa, E100=129 GPa, G12=117GPa für ein α-Fe Kristall bei zufälliger Orientierung auf die einzelnen Körner bei 200 N/mm² Last.

Die Spannung verliert mit zunehmender mikroskopischer Betrachtung an Relevanz, da die Mikrostruktur nicht modelliert wird. Die ertragbaren Spannungen auf mikroskopischer Ebene sind im Allgemeinen wesentlich höher als Fließgrenzen etc. am Bauteil wiederspiegeln. Die Vorstellung eines homogenen Spannungsverteilung entspricht jedenfalls für die meisten Werkstoffe nicht der Wirklichkeit. Durch eine Netzverfeinerung sind Sie schnell in der mikroskopsichen Struktur, weshalb eine Netzverfeinerung in dieser Skala keinen Sinn macht. Allerdings würde Sie eine solche Modellierung auch nicht weiterbringen. Wenn mikroskopische Singularitäten im Material vorliegen, führen bereits kleinste makroskopischen Belastungen zu Hot-Spots mit unendlichen Spannung. Das führt zu dem naheliegenden Schluss, dass Spannungsauswertungen überhaupt nicht zu gebrauchen sind.

Irrtum 5: „Ich kann mit FEM für solche Stellen keine Aussagen treffen und muss im Zweifel einen experimentellen Versuch durchführen.“

Diese Denkweise ist natürlich nicht akzeptabel. Sie rührt daher, dass im Ingenieursstudium häufig nur der spannungsmechanische Festigkeitsnachweis gelehrt wird und nur in seltenen Fällen der bruchmechanische Festigkeitsnachweis in Vorlesungen behandelt wird. Die Antwort, wie mit Hot-Spots umzugehen ist, ist also einfach: Im Zweifel sollte ein bruchmechanischer Festigkeitsnachweis durchgeführt werden.

Dazu muss an die auszuwertende Stelle, falls noch nicht vorhanden, eine echte Singularität in Form eines Risses, modelliert werden. Die Eigenschaft dieser Singularität, also die Art, wie sich der Spannungsfluss um die Singularität verdichtet, hat eine endlichen Charakteristik. Diese Größe stellt das bruchmechanische Versagenskriterium dar. Die Modellierung und Berechnung dieser Größe ist allerdings sehr aufwändig und ohne Implementierung nicht in jedem FEM-Programm verfügbar.

Im Rahmen meiner Recherche kam ich auf folgende Idee: Ich berechne an einer 3D-Einheitszelle die Singularität, die durch das sogenannte J-Integral charakterisiert wird,  für alle denkbaren Spannungszustände, bis weit in den plastischen Bereich hinein. Es sind schließlich 1082 Rechnungen pro Rissausrichtung, einige Tage Rechenzeit und einige Terrabyte an Daten geworden.

J-Integral-Isolinien

J-Integral-Isolinien für a=1mm Riss, E=210.000 N/mm² und v =0,3, Re=300 N/mm² Rm=700 N/mm². Der Dauerfestigkeitsbereich für verschiedenen Stähle ist schraffiert. Es sind Rissausrichtung von 0° bis 90° dargestellt.

Die Auswertung zeigt jedoch sehr schön, wie die bruchmechanische Kenngröße und der Spannungszustand im dreidimensionalen Kontinuum zusammenhängen. Zunächst einmal ist das J-Integral alleine von der umgebenden Spannung und nicht von dem Hot-Spot abhängig. Im elastischen Bereich ist einzig die größte Hauptspannung prägend. Die anderen Hauptspannungen spielen keine Rolle. Im plastischen Bereich kommt zusätzlich die von-Mises-Vergleichsspannung dazu, was nicht verwunderlich da, da über sie das plastisches Verhalten definiert ist. Weiterhin beeinflussen natürlich Rissgröße und Ausrichtung zum Spannungsfluss, sowie die Materialsteifigkeit den Wert.

Betrachten wir folgendes Beispiel mit drei kritischen Stellen. Die maximalen Spannung sind für A,B und C jeweils 213, 276 und 350 N/mm². An der Bohrung und an der Kehle sind die Spannung somit zu hoch für eine Dauerfestigkeit aus spannungsmechanischer Sicht. Wie sieht nun die bruchmechanische Bewertung aus? Zunächst einmal sind alle Hot-Spots  ca. 1 mm groß. Es wird angenommen, dass sich dort Anrisse bis zu dieser Größe befinden können. Der Nachweis wird somit für alle Rissradien kleiner a=0,5 mm durchgeführt.

ABC-Vergleich_J-Integral

Bruchmechansiche Bewertung der Hot-Spots. J-Integral-Isolinien und Sicherheitsabstände für das Beispiel für Stahl mit J_kritisch=0,15 N/mm.

Wenn Sie sicherstellen können, dass keine größeren Risse größer als 0,5 mm vorliegen, sind alle drei Stellen bruchmechanisch dauerfest, denn kleinere Risse würde durch Mikrostützwirkung gestoppt werden. Für Stelle A kommt man mit einem spannungs- und einem bruchmechanischem Nachweis auf ein vergleichbares Ergebnis. Im Gegensatz zur Spannungsmechanik hat Stelle C die höchste Bruchsicherheit. Bei Lasterhöhung würde hier zwar am ehesten ein mikroskopisches Versagen auftreten, doch von ihr würde sich kein Riss ausbreiten können. Dieser würde sich am ehesten von Stelle A ausbreiten, doch das Auftreten eines Anrisses an dieser Stelle ist deutlich unwahrscheinlicher. Aus bruchmechanischer Sicht ist also Stelle A gefolgt von B und C am kritischsten. Hätten Sie das gedacht?

Wohlgemerkt sind alle Stellen bei der vorliegenden Belastung dauerfest. Es ist ein typisches Beispiel, dass Hot-Spots häufig nicht den Versagenssort markieren.

Was kann nun zusammenfassend für die FEM-Bewertung eines Bauteils im Ingenieursalltag festgehalten werden? Sollten Sie zwangsläufig immer einen bruchmechanischen Festigkeitsnachweise für solche Stellen durchführen?

Wie Sie an dem oberen Beispiel sehen konnten, ist der Aufwand ernüchternd, wenn Sie ständig feststellen, dass es vollkommen unkritisch ist.

Als pragmatischer Tipp kann angeführt werden, dass man eine Netzfeinheit auf der Homogenisierungsgrenze von ca. 0,5-1mm wählen sollte. Bei einem solchen Netz können Sie alle maximal auftretenden Spannungswerte verwerfen und stattdessen die Werte aus dem 1-5 fachen Elementabstand betrachten. Im Zweifel mitteln Sie diese zu einem Vergleichswert. Mit dem dargestellten Diagramm können Sie dann eine bruchmechanische Abschätzung durchführen.

Sie sollte sich dabei im Klaren sein, dass ohne nähere Werkstoffkenntnisse und weitergehende Methoden keine besseren Aussagen möglich sind. Sie hätten diese Abschätzungsdiagramme gerne für bestimmte Werkstoffeigenschaften? Schreiben Sie mir einfach. Die 1082 Rechnungen sind automatisiert.

Weitergehende Links

Eine ausführlichere Abhandlung zu diesem Thema ist über Researchgate verfügbar: Bewertung von Spannungsspitzen und Singularitäten in FEM-Rechnungen

Spannungsspitzen und Singularitäten in FEM-Rechnungen
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