Über das Wesen einer Differentialgleichung Erkenntnistheorie

Mit Differentialgleichungen beschreiben Physiker und Ingenieure technische und natürliche Veränderungen in der Sprache der Mathematik. Häufig sind dies zeitliche und/oder räumliche Veränderungen. Doch was bedeutet beschreiben? Was sagt man eigentlich, wenn man so eine Gleichung niederschreibt?

In Mathebüchern steht ja meist, direkt nach der Überschrift Differentialgleichung, der betrachteten Typus und dann geht es auch schon los nach dem Motto: »Shut up and Calculate«.
Man spricht von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen und unterscheidet zwischen nichtlinearen und linearen Typen. Lineare Differentialgleichungen werden wiederum aus nichtlinearen gewonnen und in homogene und inhomogene Anteile zerlegt. Partielle Differentialgleichungen werden als hyperbolisch, parabolisch und elliptisch kategorisiert usw. Mathematisch ist diese Art der Klassifikation sinnvoll, da es für die verschiedenen Typen unterschiedliche Lösungsstrategien gibt. Aber was kann man darüber hinaus über Differentialgleichungen sagen?

Was meine ich z.B., wenn ich rund sage. Rund ist ja kein fachspezifischer Ausdruck. Ich könnte vielleicht die Ähnlichkeit zu einer Oberfläche im Sinne eines Kreis oder einer Kugel meinen.  Streng genommen ist selbst Kugel ein sprachlich noch unbestimmter Mix aus den geometrischen Elementen Kugeloberfläche und Kugelvolumen, die erst innerhalb der Geometrie so definiert sind, das scheinbar alle wissen, was gemeint ist.

Als Alternative zur herkömmlichen Sprache und Geometrie kommt nun der Differentialformalismus ins Spiel, mit dessen Hilfe sich auf differenzierte Art über rund sprechen lässt.

Mit der mathematischen Symbolik kann ich z.B einfach  {\vec r} = \rm{konst} sagen. \vec r ist dann ein euklidischer Orts-Vektor. {\vec r}=(x,y) für einen Kreis und {\vec r}=(x,y,z) für eine Kugel. Der Ausdruck entspricht somit der Idee eines runden Ideals, ohne mich direkt auf Oberfläche oder Volumen beziehen zu müssen. Vielleicht geht es mir aber nicht um ein Ideal, sondern um rund im Sinne von abgerundet, gewölbt, gebogen, weich konturiert, etc. Ich beziehe vielleicht sogar das Gegenteil eckig mit ein, um das, was ich sagen will, von dem abzugrenzen, was ich nicht sagen will. Ich könnte Rundheit durch Krümmungsstetigkeit ersetzen. Eine krümmungsstetige Oberfläche erzeugt z.B. kontinuierliche Lichtspiegelungen – ein häufig angestrebtes, ästhetisches Ideal einer Oberfläche. Doch damit habe ich bereits den Differentialformalismus \frac{{\partial ^2 f(x)}}{{\partial x^2 }} = \rm{konst} angewandt. Also noch einmal zurück. Alles begann ja bekanntlich mit der Geometrie.

Die Geometrie gewährleistet, dass ich z.B. das Volumen von einem runden Objekt mit einer Dimension in Bezug setze  V = \frac {4}{3}\pi R^3. In dieser Aussage sind zwei Dinge verwoben, die in dem Differentialformalismus nun getrennt betrachtet werden sollen.  Die Aussage wird in Struktur und Bedingung zerlegt. V = \iiint f({\vec r})) {d} x{d}y{d}z ist die Struktur und R=\sqrt {x^{2} + y^{2} + z^{2}}= \rm{konst} ist die Bedingung. Beides wird dann zur der bekannten Aussage V=\frac {4}{3} \pi R^3 verwoben.

Es verhält sich in etwa so wie mit Wörter und Grammatik. Ohne Grammatik lassen sich Wörter nicht sinnvoll verknüpfen und ohne Wörter braucht man keine Grammatik. Die Aussage ist durch einen Satz synthetisiert, der bei dieser Analogie der Gleichung entspricht. Ich kann ihn auf verschiedene Art und Weise synthetisieren, wie ich auch eine Gleichung auf verschiedenen Arten schreiben kann.  V - \frac {4}{3} \pi R^3 = 0  hat eine andere Syntax, die Aussage ist jedoch die gleiche. Will ich statt einer Kugel einen Würfel beschreiben, kann ich dieselbe Struktur für das Volumen verwenden, jedoch mit einer anderen Bedingung x , y , z = - \frac{R}{2} {. . .} + \frac{R}{2} versehen, so dass ich als Aussage nun V = R^3 erhalte. Erst eine erfolgreiche Synthese ermöglicht eine Aussage.

Um eine Synthese zu vollziehen, ist es erforderlich, die Strukturbestandteile eingehender zu untersuchen und Hilfsmittel zur Synthesenbildung zu finden. An dieser Stelle steht einem die Mathematik zur Seite. Zu allen Grammatikfragen liefert sie nützliche Hilfen und Verfahren. Der große Vorteil der mathematischen Symbolik ist, dass unabhängig der Gedankenwelt eines Individuum geprüft werden kann, ob eine Aussage grammatikalisch korrekt vollzogen wurde. Mathematiker scheren sich nicht um Wörter und Bedeutung. Sie benutzen Platzhalter. Ihnen geht es um die Erforschung der Grammatik und der Synthese. Auch theoretische Physiker interessieren sich manchmal mehr für die Struktur, als die Synthese, was daran zu erkennen ist, dass in den Fachbücher überall nicht synthetisierte Integrale und Differentiale stehen. Demgegenüber steht der angewandte Physiker und der Ingenieur, die in ihren alltäglichen Denken am Liebsten die fertige Synthese verwendet, so dass sie sich (nur noch) um sinnvolle Bedingung Gedanken machen muss, etwas das wiederum den meisten Mathematikern fremd ist. Die große Errungenschaft der Menschheit, die differentielle Sprache, ist bekanntlich zugleich das große Grauen des Studierenden in naturwissenschaftlichen Fächern. Letztendlich kann es aber immer nur – abseits der reinen Wissenschaft und Erforschung von Hilfsmitteln –  um eine erfolgreiche Synthese, also einer konkreten Aussage gehen. Aber um was für Aussagen geht es überhaupt?

Es geht um Aussage über Proportion. Mit Proportion meine ich eine allgemeine Proportion, also nicht nur 1000 m zu 3 m, sondern auch 1000 N zu 30 m. Es geht nicht um eine Aussage wie: »Welche Farbe hat der Stein«, sondern über Aussagen in der Art: »Wie kräftig muss ich den Stein werfen, um ein Ziel in einer bestimmten Entfernung zu treffen?« Es geht um Proportionen, sonst nichts. Eigenschaften wie grau, schön, wahr, falsch werden hier nicht betrachtet. Dafür gibt es andere, synthetische Sprachmöglichkeiten, wie, z.B. die Logik. Zusammenfassend würde ich das Wesen einer Differentialrechnung als proportionale Struktur-Bedingungs-Synthese beschreiben.

Dass es um eine Aussage über eine Proportion geht, ist durch das Gleichheitszeichen gekennzeichnet. Gleichheitszeichen ist aber nicht gleich Gleichheitszeichen. Das Gleichheitszeichen einer Funktionszuweisung f(x)= . . . hat eine andere Bedeutung und fällt in den Bereich der Struktur- und Bedingungsformulierung. Es würde also Sinn machen, diese beiden Dinge strikt durch verschiedene Zeichen zu trennen. Andererseits bietet auch die gewöhnliche Sprache die Möglichkeit einer Subjekt-Prädikat-Objekt Vertauschung und Variation der Aussage durch Deklinationen. So kann der Funktionszuweisung {m} = 1 {\rm{kg}} selbst wiederum eine proportionale Synthese aus Struktur und Bedingung zu Grunde liegen, mit {m} = {\iiint{f({\vec \rho})dxdydz}} als Struktur und der Hülle des Körpers als Bedingung. Schließlich werden in der allgemeinen Sprache auch mehrere Sätze gebildet, geschachtelt und aufeinander bezogen. Diese Schachtelung bietet die erforderlichen Freiräume in der Formulierung. Als Konsequenz kann es bei komplexen Aussagen schwierig sein,  immer Struktur und Bedingung in allen Verschachtelungsebenen der Syntax klar zu trennen. Ich habe nicht genug drüber nachgedacht, um das auf dieses Ideal verallgemeinern zu wollen. Auf der anderen Seite passiert es allzu schnell, dass man Gleichungen so lange umformt, bis man wieder am Ausgangspunkt ist. Selbst wenn man vor Augen hat, dass man so viele Gleichungen wie Unbekannte braucht, kann eine Synthese scheitern, z.B. wenn man partiell innerhalb einer komplexen Syntax aus einer Bedingung eine Struktur macht. Sich über die Synthese aus Struktur und Bedingung klar zu sein, bietet mir Vorteile bei der Beschreibung von komplexen Problemen, wie ich sie im nächsten Teil vorstellen werden, nicht unbedingt für einfache Lehrbuchbeispiele, die man mit Stift und Zettel rechnen kann.

Betrachten wir aber zunächst noch einmal ein solch einfaches Beispiel, den Steinwurf. Ich beschreibe in der Sprache der Differentialsymbolik die Flugbahn des Steins und somit auch den Ort des Auftreffens. Die Bedingungen des Wurfes legen die Flugbahn fest. Die Flugbahn ist eine Aussage der Synthese, dessen Struktur durch eine Differentialgleichung ausgedrückt wird, in die das Gleichheitszeichen, das die Proportion kennzeichnet, eingeprägt ist. {m} {\frac{{\partial ^2 x}}{{\partial t^2 }}} = f(x , \frac{{\partial x}} {{\partial t}} , t)

Die rechte Seite enthält mindestens einen Ausdruck für die Schwerkraft, sonst wäre es ja nicht die Struktur Steinwurf, über die ich spreche. Gegebenenfalls enthält die Struktur auch einen Ausdruck für den Luftwiderstand aber wahrscheinlich keinen Ausdruck für einen Auftriebseffekt, da der Stein höchst wahrscheinlich keine Flügel hat. Doch egal wie genau ich die Struktur beschreibe, erst die Bedingungen ermöglichen eine erfolgreiche Aussage. Neben der Trajektorie, die annähernd einer Parabel folgt, kann dies auch eine Aussage über Flugzeit und maximale Höhe sein. Alle diese Aussagen synthetisiere ich mit den selben Bedingungen innerhalb der selben Struktur Steinwurf.

Um so präziser ich die Bedingungen und Struktur formuliere, desto präziser kann ich den Wurf mathematisch denken.

Da man diese Technik nicht wirklich als Denken bezeichnet – sonst müsste man ja nicht mit Stift und Zettel oder einem Computer rechnen – nennt man es Simulation. Die Synthese aus Struktur und Bedingung nennt man Modell. Letztlich ist es nichts anderes, als Denken durch Symbole und Grammatik aus seinem Verstand auszulagern.  Diese Auslagerung hat – ebenso wie die Sprache – den Vorteil einer verlustfreien Kommunikation im Vergleich zum Ausdruck meines geistigen Innenlebens durch akustische Wörter. Ein sehr nützlicher Nebeneffekt.

Vergleichen wir einmal die Aussage einer gewöhnlichen Sprache.

Wenn ich den Stein schräg nach oben kräftig werfe, landet er dort hinten ein Stück vor dem Baum.

Die Alternative:

Ein Stein, der x kg wiegt und in z m Entfernung landen soll, muss in einem Winkel von i° y km/h schnell geworfen werden.

Zur Erreichen dieser Geschwindigkeit, muss auf den Stein, der eine Masse von u kg hat, eine Arbeit von v Nm verrichtet werden, die durch eine konstanten Kraft auf eine Länge von p m aufgebracht werden könnte.

Diese differentiell formulierte Aussage ist nichts anderes als eine Beschreibung von Proportion von Kraft und Reichweite. Wohlgemerkt zwei Dinge, die verschiedene physikalische Einheiten haben. Das Gleichheitszeichen setzt diese Dinge ja nicht gleich, sondern kennzeichnet nur die Proportionalität und unterliegt der erforderlichen Syntax und Grammatik.

Ich bin am Ende des ersten Teils meiner – als Trilogie angelegten – Abhandlung über Differentialgleichungen angelangt.

Die Anwendung einer differentiellen Rechnung beinhaltet immer auch einen Gedankengang. Man beschreibt ein Problem und kann definieren, welcher Art die Lösung sein soll, ohne sie zu kennen. Es ist in etwas so, als ob ich sage: »Da ist ein Fluss, ich will eine komfortable Überquerung. Wie soll die Brücke aussehen?« Die Art der Lösung wird als Brücke vordefiniert und nicht als Fährverbindung oder Tunnel. Wie und warum gelangt man nun zur Struktur Brücke? Könnte man nicht Flußüberquerung als Struktur beschreiben. Wie kommt der Ingenieur überhaupt auf die Struktur und die Bedingungen, und schließlich, wie erreicht der Ingenieur die Synthese? Er rechnet ja keine Lehrbuchbeispiele in der Praxis. Es ist mehr als die mathematische Synthese. Darum geht es in den nächsten beiden Teilen, die noch folgen werden.

  • Teil 2: Modellierung in der Systemtheorie
  • Teil 3: Lösungsfindung

 

Über das Wesen einer Differentialgleichung
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