Vom Wesen der Methode Erkenntnistheorie

In meinem Essay über das Kaspertheater methodenweichgekochter Automobilisten habe ich so gegen die Methode als Innovationsgrab gewettert, dass ich ein schlechtes Gewissen bekam und nun einmal die Methode als Teil einer schizophrenen Selbst-Debatte als etwas Tolles darstellen möchte.

Schauen wir uns einmal an, was hinter einer kompetenten Problemlösung steckt und welche Anstrengungen es bedarf, eine Methode zu entwickeln und welche Vorteile das bietet.

Hier ist das Objekt der Demonstration.

1 & 2 & 3 & 4 & …

Bezeichnen wir das Ganze als Algorithmus und sagen, dass wir innerhalb dieser strukturierten Anordnung der Symbole eine eindeutige Regel erkennen. Der Algorithmus beschreibt einen steten Zuwachs, beginnend bei der 1. Wir sehen zwar nur einen Teil des Ausdrucks, schließen aber auf das Ganze. (Das Gute an diesem Beispiel ist, das ich Ihnen versichern kann, dass der Induktionsschluss zu 100% richtig ist.)

Ich will nun mein Können dadurch zeigen, dass ich spielerisch, mit Leichtigkeit und mit großer Selbstsicherheit mit diesem Ausdruck umgehen kann. Es gibt nicht einmal ein Problem, außer natürlich, dass ich offensichtlich mein Können zur Schau stellen will.

Wenn man nun nach Wegen sucht, um sein Können zu zeigen, wird es nicht gelingen, wenn man weiterhin diesen Ausdruck anstarrt, so wie er ist.

Es ist handeln gefordert.

Es ist irgendwie ein unvollständiger Ausdruck. Ist es nicht ein Problem, wenn etwas unvollständig und undefiniert ist?

Aber sind die Punkte, die (…), wirklich so undefiniert oder scheinen sie nur so? Schließlich liegt doch eine Regel vor, (die ich mir selbst zu 100% bestätige, dass sie richtig erkannt ist,) die irgendwie Auskunft darüber gibt, was in (bzw. hinter) den Punkten steckt. Die Regel besagt, dass es immer so weiter und so weiter geht – usw. eben.

1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & …

Es gibt mir Zuversicht, dass hier ein Rätsel vorliegen könnte, noch immer ohne zu wissen, was überhaupt das Problem genau sein soll. Also, ein klares Problem muss dringend her.

Dabei ist doch klar, was die Regel sagt. Füge so lange die nächst höhere Zahl hinzu, bis … ja bis was eigentlich? Es gibt ja kein Ende oder etwa doch? Ein Ende wäre z.B. 20 oder 99 oder 1.000.000. Das steht da zwar nicht, aber es muss so sein, nur so lässt sich sinnvoll ein Problem formulieren, nur so ist es als endlicher Algorithmus zu verstehen, nur so komme ich überhaupt auf die Idee, dass ich gerade beispielsweise an die Zahlen 20, 99 und 1.000.000 dachte. Ein unendlicher Algorithmus ist schließlich sinnlos, oder nicht? Langsam forme ich mir das Problem zurecht, so wie es mir passt und ignoriere alle Zweifel.

Jetzt kommt der erste mathematische Kunstgriff. Das notwendige Ende, der finite Abbruch, wird als Variable betrachtet und einfach n genannt. Der Buchstabe ist willkürlich und nur aus Gewohnheit n. n kann 20, 99 oder 1 Mio sein. n deckt alle Möglichkeiten ab.

1 & 2 & 3 & 4 & … & n

Die Information, dass ein Ende vorliegen muss, wird auf diese Weise ergänzt. Selbst wenn es kein Ende geben würde, kann diese Ergänzung nicht falsch sein. Dadurch ist jedoch keine Vereinfachung gewonnen. Ganz im Gegenteil, ich habe den Ausdruck verkompliziert. Was gibt es noch an Informationen, die sich zum Verkomplizieren eignen?
Der Ausdruck lässt sich als schrittweise Summenbildung auffassen, was durch den Austausch der Symbole (& → +) offensichtlich gemacht werden soll.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n

Ich hätte es auch gleich mit den + Symbolen ausdrücken können, dann wäre dieser Schritt der Verkomplizierung allerdings nicht so offensichtlich.

Nun, und erst wirklich nun, kann ich langsam überhaupt erst versuchen, ein Problem zu formulieren, da ich durch mathematische Kunstgriffe den Algorithmus auf spielerische Weise – also ohne wirkliches Problem – Stück für Stück algebraisierte. Es ist jetzt fast ein komplett algebraischer Ausdruck, wenn da nicht weiterhin die (…) wären. Auch wenn das Problem immer noch nicht ganz klar ist, kann man sagen, dass der konsequente und bewusste nächste Schritt dem Wunsch nach kompletter Algebraisierung entspricht. Dazu müssten doch nur noch die Punkte eliminiert werden.
Das Problem wird nun zum wiederholten Male immer klarer. Die Punkte müssen weg.

Das – ja wahrlich das – würde mein Können zur Schau stellen,  denn hier hört das mühelose Spielen auf.

Erst habe ich herumgespielt und von Zauberhand ergibt sich nun ein Problem. Hurra.

Aus der Fragestellung wird eine angemessene Herausforderung. Es ist die Gelegenheit, um Können zu zeigen. Und wenn ich es nicht schaffe, wird ja keiner davon erfahren. Es wird entweder eine Erfolgsgeschichte oder gar keine Geschichte.

Die bisherigen Schritte mögen durch mathematische Vorbildung trivial erscheinen, aber Sie werden noch sehen, wie es immer so weiter geht und ganz plötzlich nichts mehr trivial ist, obwohl es, wie gesagt, einfach immer so weiter und weiter und weiter geht. Es wird plötzlich unglaublich kompetent erscheinen. Der einzige Unterschied ist jedoch im Vergleich zu den bisher trivialen Schritten, dass Sie die trivialen Kunstgriffe vermutlich bereits irgendwann verinnerlichten.

Kompetent könnte ich nun sagen: »Gesucht ist S in Abhängigkeit von n ohne die Abarbeitung des Algorithmus«, oder ich könnte es sogar noch kompetenter formulieren: »Gesucht ist eine algebraische Formulierung einer algorithmischen Reihe.« Umso kompetenter ich es formuliere, desto weniger werde ich von weniger kompetenten Menschen verstanden, desto kompetenter erscheine ich jedoch gegenüber ihnen.

Ich höre schon im Geiste einen weniger kompetenten sagen: »Mensch, er ist so kompetent. Er sagt einfach: Das da ist ein algorithmischer Ausdruck; das da ist ein algebraischer Ausdruck. Ich kenne zwar die Begriffe Algorithmus und Algebra, aber ich würde mich nie trauen, sie so zielsicher zu verwenden. Und dann nagelt er auch noch das Problem in seiner Ursprünglichkeit fest.«

Der kompetente Leser merkt übrigens sofort, dass es arithmetische Reihe, und nicht algorithmische Reihe heißen müsste und ich wäre in seinen Augen sofort als inkompetent entlarvt. So ist das mit der Kompetenz, sie ist ein wirklich schmaler Gebirgspass.

Ein tiefergehendes Verständnis des Problems setzt voraus, dass ich sowohl in der Algebra, als auch der Algorithmik (Pardon Arithmetik) bereits Kunstgriffe und Regelsysteme beherrsche und über diesen Erfahrungsschatz überhaupt erst verstehe, was die Unterschiede von Algorithmus, Arithmetik und Algebra sind.

Da der Ausdruck verkompliziert wurde, kann ich nun vergleichen, welche Auswirkungen das hat, indem ich die Verkomplizierung wieder partiell entferne. Ich lasse wahlweise die Variable n weg und vergleiche die Ausdrücke miteinander.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …

Da ich nun weiß, dass mich die Punkte (…) stören und sie für mich das Problem darstellen, das es zu eliminieren gilt, richte ich nun den Fokus auf sie. Ich betrachte, wie sich diese störenden Punkte zu dem Rest verhalten. Man sieht an dem Vergleich, dass die Punkte einmal am Ende und einmal genau einen Platz vor dem Ende stehen. Man kann die störenden Punkte also bewegen. Doch folgende Bewegung macht z.B. wenig Sinn und zeugt von Inkompetenz, bzw. einem Absturz vom Gebirgspass.

S= 1 + 2 + 3 + … + 4 + 5 + n

Das ist aber von der Idee das, was ich gebrauchen könnte. Was ist also der Kunstgriff, um die Punkte richtig weg zu verschieben? Hier die kompetente Lösung, ein sicherer Schritt auf dem Gebirgspass.

S= 1 +2 + 3 + … (n-2) + (n-1) + n

Warum komme ich überhaupt auf die Idee, die Punkte verschieben zu wollen. Nun, sie stören mich, und es ist bereits als Kind häufig erfolgreich gewesen,  störendes einfach wegzuschieben.

Auf einmal kann ich durch diesen kindlichen Versuch wieder einmal das Problem neu formulieren, denn ich erkenne, dass die ganze Reihe vielleicht alleine von n abhängen könnte. »Gesucht ist S als Funktion von n, also S(n)=?«, verkünde ich lautstark das Problem.

Ich merke aber schnell, dass es naiv war, anzunehmen, dass mich nur die Punkte stören. Es stört die Zahlenreihe im Allgemeinen – also alles! Aber dieses Gefühl ist  zu diffus, um es zu fassen und genauer zu beschreiben. Ich unterdrücke die Angst, dass ich mich vollkommen verrannt habe und es überhaupt keine Lösung geben kann und mein Problem vielleicht nur hausgemacht sein könnte. Aber wie gesagt, ich würde die Geschichte, die zu über 95% hier aufhören würde, nicht erzählen, wenn sie keine Erfolgsgeschichte wäre.

Wenn Kinder etwas nicht erfassen können, drehen sie es in der Hand hin und her oder laufen herum und betrachten es aus verschiedenen Perspektiven. Was ist, wenn ich das ebenso handhabe, wenn ich das ganze nicht von 1 als Zuwachs betrachte, sondern von n als Reduzierung. Was ist wenn ich das experimentelle Verschieben konsequent zu Ende betreibe.

S=  … + (n-4) + (n-3) + (n-2) + (n-1) + n

Mit einem Kunstgriff drehe ich nun die Perspektive um.

S = n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + …

Bisher wurden eine ganze Reihe von Kunstgriffen angewendet. Der nun Folgende ist prinzipiell nicht komplizierter. Ich addiere beide Varianten der Reihe und zwar Ausdruck für Ausdruck, wie ich zuvor  auch Ausdruck für Ausdruck in der Reihenfolge getauscht habe. Ich schreibe sie dazu wie bei einer schriftlichen Addition übereinander.

S = n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + …
S = 1  +    2    +    3     +    4     + …

2S= (n+1) + (n+1) + (n+1) + (n+1) + …

Abrakadabra, ein weiterer Kunstgriff ist vollbracht.

Der Rest ist wieder einfache Algebra, bzw. wieder vermeidlich einfachere Kunstgriffe, die aber vom Prinzip nur nicht mehr den Abrakadabra-Effekt haben. Die Reihe ist nun transformiert. Es ist die Information eingebaut, dass der Abbruch vor der Berechnung bereits bekannt ist, das wohlgemerkt überhaupt nicht im ursprünglichen Ausdruck gegeben war, sondern reine Interpretation darstellt. Hinterher sage ich dann kompetent, ich habe von Anfang an die Strategie verfolgt, die fehlende – aber logisch und konsequente – Bedingung in die Reihe methodisch reinzurechnen. Aber ist das nicht eine Verdrehung der Tatsachen, was wirklich passiert ist?

Wenn ich die so methodisch gefundene Reihe wieder als Algorithmus betrachte, sagt dieser, dass es immer den gleichen, statt variablen Zuwachs gibt. (n+1) muss nun genau n mal aufaddiert werden, dann erhält man die doppelte Summe.

2S=n(n+1)

Nach einem weiteren algebraischen Kunstgriff reduziere ich die doppelte Summe wieder und habe meine Lösung für mein von vorne herein klar formuliertes Problem, eine arithmetische Reihe in eine algebraische Gleichung zu überführen.

S=½n(n+1)

Die Punkte sind eliminiert, der von vorneherein angedachte Transfer ? vom Algorithmus über die Arithmetik zur Algebra ist geglückt.

Der Mathematiker sagt nun: »Hier ist die Formel, mit du alle Fragen dieser Art berechnen kannst. Bitte sehr. Ich nenne die Methode, mit der ich diese Formel hergeleitet habe, Rekursionsschema – auf das dir diese Methode auch noch bei Fragen ähnlicher Art helfen werde. »

Also testen wir das gleich mal aus. Was ist die Summe der Quadrate von 1 bis n?

1 + 2² + 3² + 4² + … + n²

»Nun«, sagt der Mathematiker weiter, »dafür taugt die Methode zwar nicht direkt …
… aber wenn noch ein weiterer Kunstgriff vorgenommen wird, indem der bekannte Zusammenhang (n+1)3-n3=3n²+3n+1 einfließt, ist auch dieses Problem mit dem Rekursionsschema lösbar. Hier ist die Formel, mit du alle Fragen auch dieser Art berechnen kannst.»

S=1/6*n(n+1)(2n+1)

Pólya rechtfertigt diesen scheinbar willkürlichen und vom Himmel gefallenen Erfolg, also die Kenntnis des speziellen Polynoms, damit, dass sich jeder Kunstgriff meist verallgemeinern lässt, so dass er zur erfolgreichen Methode wird. Er demonstriert es, in dem er die Verallgemeinerung auf die Reihe 1+2k+3k+4k+…+nk  ausbaut. Das eben noch »vom Himmel gefallene« wird somit vom Kunstgriff langsam zu einer umfassenden Methode, dem Rekursionsverfahren ausgebaut. Für Pólya (1966) gilt die einfache erkenntnistheoretische Idee:

Eine Methode ist ein Kunstgriff, den man zweimal anwendet.

Jede Methode ist also ursprünglich als Fragment, als Einzellösung, irgendwie als Kunstgriff »vom Himmel gefallen«, bevor es zur Methode weiter entwickelt wurde. Der Gedanke, dass es ein erstaunlicher und genialer Kunstgriff war, weicht dem Gedanken, dass es eine ganz gewöhnliche Methode ist, die man erlernen kann.

Wie aufgezeigt wurde, beginnt die Problemlösung immer zunächst mit tief verwurzelten Heuristiken, wie z.B. der Visualisierung von Algorithmen in einer expliziten Reihenschreibweise und dem kindlichen wegschieben wollen, was einen stört. Auch Newton sah in seiner zur Differentialrechnung äquivalenten Fluxionenmethode bewegende Fluxionen. Descartes sah Kreise, Leibnitz Geraden die Kurven tangieren und Newton eben Fluxionen, bevor diese Hilfsbrücken der Anschauung Stück für Stück durch Verallgemeinerung wieder eliminiert und als Spezialfälle deklariert wurden. Erst nach den Einzellösungen wurde die Differentialrechnung in mühevoller Kleinarbeit in einem langen, über Generationen andauernden Prozess zu hochintegrierten Methoden verallgemeinert. Bei einem solchen Vorgang wird immer zunächst verkompliziert, was aber schließlich zu einer Verknüpfung anderer Methoden führt, so dass beides in eine gemeinsame Methode überführt werden kann. Diese erscheint auf den ersten Blick zwar komplizierter, rentiert sich allerdings, da man fortan nur noch eine, statt vormals zwei Methoden erlernen muss – oder zumindest für beide Methoden das gleiche Begriffsverständnis erlernen kann.

Es ist nach Pólya ein urtümliches Selbstverständnis der Mathematik, das sich Mathematiker aus angelesenen und nachgerechneten Kunstgriffen ein riesiges Sammelsurium an Tricks aneignen, die ihnen eine große Palette an Lösungen ermöglichen. Alleine durch spielerische Kombinatorik eröffnen sich weitere Fortschritte in der Mathematik.

Wie wir an dem Remake des historischen Beispiel gesehen haben, ist eine schöpferische Problemlösung ein Prozess der Zusammenführung. Kompetenz ist das methodische Anwenden bekannter Problemlösungen, also der sichere Gang auf einem bereits beschrittenen und ausgebauten Gebirgspass. Die schöpferische Einzellösung schafft den Wunsch, aus dem scheinbaren Kunstgriff eine nachvollziehbarere Methode zu entwickeln, und erfordert den Abbau der Stützkonstruktion durch Vereinheitlichung und Reduktion aufs genial Einfache.

Apropos Remake. Was ist die Summe der Zahlen 1 bis 20, fragte der Lehrer die Klasse, als er etwas Ruhe haben wollte. Während seine Mitschüler fleißig anfingen, alle Zahlen einzeln zu addieren, bildete der kleine Gauss in der original Geschichte (zumindest der Legende nach) von außen nach innen Paare und multiplizierte sie einfach, da diese Paare immer die gleiche Summe hervorbringen. Er legte die Lösung 210 dem Lehrer innerhalb weniger Augenblicke vor.

1+20=2+19=3+18=…=10+11=21

→ 10 x 21 =210

Was lernen wir aus dieser Geschichte zur Beziehung von Schöpfung, Methode und Kompetenz? Hatte ich unrecht, Methoden als Innovationsgrab darzustellen? Ist die Methode nicht selbst immer eine Innovation?

Der eigentliche Fortschritt wird immer zunächst mit einer überladeten Stützkonstruktion in Form eines »Kunstgriffs« – wie Pólya es nennt – erreicht. Aus dem Prozess, die Stützkonstruktion zurück zubauen und den Kunstgriff zu verallgemeinern, also den gefunden Gebirgspass zu befestigen, folgt dann die Methode. Die erfolgreiche Anwendung der Methode, also die erfolgreiche Anwendung des einen Kunstgriffes auf ähnliche Probleme, ist dann Kompetenz. Doch durch Methoden sind nur Variationen des immer gleichen möglich und nicht mal das ist sicher. Die Grenzen der Anwendbarkeit sind vollkommen unklar, bis man es probiert, wie wir an dem Beispiel mit den Quadraten gesehen haben, der zunächst einen weiteren Kunstgriff benötigte. 2 + 4 + 6 + 8 + … wäre hingegen ohne weiteren Kunstgriff lösbar gewesen.
Wenn diese beschränkten Möglichkeiten zu Innovationen führen, nur zu, seien Sie ruhig methodenkompetent. Ansonsten sollten Sie lieber versuchen, Dinge zusammenzubringen, die zunächst nicht zusammen passen. Das ist die wirkliche Strategie zur Innovation. Auf jeden erfolgreichen Kunstgriff folgt immer ein weiterer Kunstgriff, der nicht vorhersehbar ist. Wie aus dem Beispiel hoffentlich ersichtlich wurde, kann an jedem Schritt Schluss sein und die Innovation nicht erreichbar. Das ist das Risiko jeder Innovationsbemühung. Das Ziel ist das Finden eines Gebirgspasses. Eine Methode ist hingegen nur der anschließende Ausbau, der die erneute Überquerung sicherer, schneller und nun auch für den nicht so versierten Bergsteiger gangbar macht.

Vom Wesen der Methode
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